Khái niệm và giới hạn hữu hạn của hàm số

Hàm số thực là một ánh xạ từ tập xác định D vào tập giá trị f(D). Cho hai hàm số f và g có miền xác định D1 và D2, ta nói f = g nếu D1 = D2 và f(x) = g(x) với mọi x thuộc D1.

Phép toán với hàm số

i) Phép cộng và tích của hai hàm số f và g đều có miền xác định là giao của D1 và D2.

ii) Phép chia f/g có miền xác định là giao của D1 và D2 trừ điểm x nào đó sao cho g(x) = 0.

iii) Hàm căn bậc hai của f có miền xác định là D1 trừ đi các điểm x thỏa mãn f(x) < 0.

Một số hàm lượng giác ngược

• y = arcsinx có miền xác định là [-1,1] và miền giá trị là [-π/2,π/2]
• y = arccosx có miền xác định là [-1,1] và miền giá trị là [0,π]
• y = arctgx có miền xác định là R và miền giá trị là [-π/2,π/2]
• y = arccotgx có miền xác định là R và miền giá trị là [0,π]

Định nghĩa giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f tại x0 được ký hiệu là lim(x→x0) f(x) = L nếu với mọi ε > 0, luôn tồn tại α > 0 sao cho khi x thuộc I (khoảng mở tâm x0, bán kính α), ta có |x – x0| < α ⇒ |f(x) – L| < ε.

Tính chất của giới hạn

• Định nghĩa này tương tự như định nghĩa sự hội tụ của dãy.
• Ta có thể định nghĩa giới hạn bên trái và bên phải của hàm số.
• Giới hạn của hàm số tại x0 là duy nhất.

Mối quan hệ giữa giới hạn và dãy

Giới hạn của hàm số f tại x0 cũng có thể được hiểu thông qua dãy. Nếu {xn} là một dãy trong khoảng mở I hội tụ về x0 và xn không bằng x0, ta có lim(n→∞) f(xn) = L.

Tính chất khác của giới hạn

• Nếu giới hạn của f tại x0 tồn tại hữu hạn, thì tồn tại khoảng mở chứa x0 sao cho f bị chặn trên khoảng đó.
• Nếu giới hạn của f tại x0 không bằng 0, thì tồn tại khoảng mở chứa x0 sao cho f có giá trị lớn hơn một hằng số dương trên khoảng đó.

Các phép toán trên giới hạn hàm số

Cho hai hàm số f và g có giới hạn tại x0, ta có:

i) lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = lim(x→x0) f(x) + lim(x→x0) g(x)

ii) lim(x→x0) [kf(x)] = k * lim(x→x0) f(x)

iii) lim(x→x0) [f(x)g(x)] = lim(x→x0) f(x) * lim(x→x0) g(x)

iv) lim(x→x0) f(x)/g(x) = lim(x→x0) f(x)/lim(x→x0) g(x) (nếu g(x) khác 0)

v) lim(x→x0) sqrt[f(x)] = sqrt[lim(x→x0) f(x)]

Hàm số bị chận

Hàm số f(x) được gọi là bị chận trên tập D nếu tồn tại một số M sao cho |f(x)| ≤ M với mọi x thuộc D.

Hàm số bị chặn

Hàm số f(x) được gọi là bị chặn trên tập D nếu tồn tại hai số M1 và M2 sao cho M1 ≤ f(x) ≤ M2 với mọi x thuộc D.

Hàm số không bị chặn

Khi hàm số không bị chặn trên tập D, ta có thể kết luận rằng giới hạn của hàm số tại các điểm biên của D không tồn tại hoặc bằng vô cùng.

Tính duy nhất của giới hạn

Nếu hai giới hạn của hàm số f tại x0 tồn tại và hữu hạn và khác nhau, thì hàm số không có giới hạn tại x0.

Các tính chất khác của giới hạn

• Nếu f có giới hạn tại x0 và không âm trên khoảng mở chứa x0 (trừ điểm x0), thì giới hạn đó cũng không âm.
• Giới hạn của tổng, tích, hiệu và thương của các hàm số cũng có thể tính bằng cách lấy tổng, tích, hiệu và thương của giới hạn của từng hàm số tương ứng.

Ví dụ

1. Tìm lim(x→0) x^2 sin(1/x). Kết quả là 0.

2. Tìm lim(x→3) x^2. Kết quả là 9.

Kết luận

Đây là một số khái niệm cơ bản về hàm số và giới hạn trong toán học. Hi vọng bạn đã hiểu và áp dụng được những kiến thức này vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số.

Nguồn: https://tenrenvietnam.com
Danh mục: Tài liệu chia sẻ