Học toán có thể trở nên thú vị và thỏa mãn bằng cách thực hành các bài tập về tổng hai lập phương. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về công thức và giải quyết các bài tập liên quan đến chủ đề này.
Contents
Bài 1: Rút gọn biểu thức
Chúng ta sẽ bắt đầu với bài tập rút gọn biểu thức. Hãy cùng làm nhé!
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
b) (x + 4)(x2 – x + 7) – (x3 + 3×2 + 3x + 13) – 26
c) (a – b + 1)[a2 + b2 + ab – (a + 2b) + 1] – (a3 + 1)
Bài 2: Viết các biểu thức dưới dạng tích
Tiếp theo, chúng ta sẽ viết các biểu thức dưới dạng tích. Hãy cùng thử làm nhé!
a) (4x – 2)3 + 8
b) a6 – b6
c) (a + b)3 + (a – b)3
Bài 3: Chứng minh
Bài tập này đòi hỏi chúng ta chứng minh một đẳng thức với các biến x, y, a và b. Hãy cùng làm bài tập này nhé:
Cho x, y, a và b thỏa mãn các đẳng thức sau: x + y = a + b (1) và x2 + y2 = a2 + b2 (2)
Chứng minh rằng : x3 + y3 = a3 + b3
Bài 4: Chứng minh đẳng thức
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh một đẳng thức với các biến a, b và c. Hãy cùng giải quyết bài tập này:
Chứng minh rằng với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì ta có đẳng thức a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 5: Tính giá trị biểu thức
Cuối cùng, chúng ta sẽ tính giá trị của một biểu thức với các biến x và y. Hãy thử làm bài tập này nhé:
Cho các biến x, y thỏa mãn x+y =1. Hãy tính giá trị biểu thức sau: B = x3 + y3 + 3xy
Đây là những bài tập thú vị về tổng hai lập phương mà chúng ta có thể thực hành. Hãy cùng nỗ lực và thử giải quyết chúng để rèn luyện khả năng giải toán của mình!
Đáp án bài tập tổng hai lập phương:
Bài 1
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
= (x+3)(x2 – 3x + 3 2 ) – (54 + x 3 )
= (x 3 + 3 3 ) – (54 + x 3 )
= 3 3 – 54
= 27 – 54 = -27
b) (x + 4)(x2 – x + 7) – (x3 + 3×2 + 3x + 13) – 26
= ((x +1 ) + 3)[(x + 1)2 – 3(x + 1) + 32 ] – (x +1)3 – 26
= [(x + 1)3 + 33] – (x +1)3 – 26
= 33 – 26 = 27 – 26
=1
c) (a – b + 1)[a2 + b2 + ab – (a + 2b) + 1] – (a3 + 1)
= [a+(1 – b)][a2 – a(1 – b) + (1 – b)2 ] – (a3 + 1)
= [a3 + (1 – b)3] – (a3 + 1)
= (1 – b)3 – 1
Bài 2
a) (4x – 2)3 + 8 = (4x – 2)3 + 23
= [(4x – 2) + 2][(4x – 2)2 – 2(4x – 2)+ 22]
= 4x[(4x – 2)2 – 2(4x – 2)+ 4]
= 16x[(2x – 1)2 – 2x +2]
b) a6 – b6
= (a2)3 – (b2)3
= (a2 – b2 )(a4 – a2b2 + b4)
= (a – b)(a + b)(a4 – a2b2 + b4)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a – b) + (a – b)2]
= 2a[(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab +b2)]
= 2a( a2 + 3b2)
Bài 3
Ta có:
x + y = a + b ⇒ ( x + y)2 = (a + b)2
⇔ x2 + 2xy + y2 = a2 + 2ab + b2
Mà từ (2) ta có : x2 + y2 = a2 + b2 ⇒ 2xy = 2ab ⇔ xy = ab.
Bài 4
Ta có:
a3 + b3 + c3 – 3abc
= (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)((a + b)2 – c(a + b) + c2) -3ab(a + b + c)
= (a+b+c)( a2 + 2ab + b2 – (ac + bc) + c2 – 3ab)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Vậy suy ra : a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Mà theo giả thuyết : a + b +c = 0
Do đó : a3 + b3 + c3 = 3abc (điều phải chứng minh)
- Chú ý: đẳng thức a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng.
Bài 5
Ta có :
x3 + y3 + 3xy
= (x + y)(x2 – xy + y2) + 3xy
= 1.(x2 – xy + y2 ) + 3xy
= x2 + 2xy + y2
= (x+y) 2
= 1
Nguồn: https://tenrenvietnam.com
Danh mục: Tài liệu chia sẻ